স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ

গোনার সংখ্যা ১, ২, ৩, … এই বইয়ে স্বাভাবিক সংখ্যা। অঙ্ক হলো সংখ্যা লেখার দশটি প্রতীক: ০–৯। শূন্যসহ সংখ্যাগুলোকে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলা যায়। অঙ্কের স্বকীয় মান একই থাকে; অবস্থান বদলালে স্থানীয় মান বদলায়। ডান দিক থেকে একক, দশক, শতক, হাজার—প্রতি ধাপে মান দশ গুণ।

দেশীয় রীতিতে একক, দশক, শতকের পরে হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত, কোটি আসে। ডান দিক থেকে প্রথম তিন অঙ্কের পরে কমা, তারপর প্রতি দুই অঙ্কের পরে কমা দাও। শূন্য দিয়ে বহু অঙ্কের সংখ্যা শুরু হয় না।

আন্তর্জাতিক রীতিতে হাজারের পরে মিলিয়ন ও বিলিয়ন ব্যবহার হয়। ডান দিক থেকে প্রতি তিন অঙ্ক পরে কমা বসে। একটি সংখ্যার মান বদলায় না; কেবল নাম ও কমার দলবিন্যাস বদলায়।

১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ। ১ বিলিয়ন = ১০০ কোটি। ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন। এক রীতির নাম থেকে অন্য রীতিতে যেতে আগে একই এককে পরিণত করো।

১-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার গুণনীয়ক শুধু ১ ও সংখ্যাটি নিজে, তা মৌলিক। দুইয়ের বেশি গুণনীয়ক থাকলে যৌগিক। ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়। ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক। অর্থাৎ তাদের গ.সা.গু. ১। সহমৌলিক হতে প্রত্যেক সংখ্যাকে মৌলিক হতে হয় না।

২: শেষ অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬ বা ৮। ৫: শেষ অঙ্ক ০ বা ৫। ৪: শেষ দুই অঙ্কের সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য। ৩: অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য। ৯: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য। ৬-এর জন্য ২ ও ৩—দুই পরীক্ষাই মিলতে হবে।

গ.সা.গু. হলো প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক। মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নাও। ভাগ পদ্ধতিতে বড় সংখ্যাকে ছোটটি দিয়ে ভাগ করো। এরপর আগের ভাজককে ভাগশেষ দিয়ে ভাগ করতে থাকো। ভাগশেষ শূন্য হলে শেষ অশূন্য ভাজকই গ.সা.গু.।

ল.সা.গু. হলো সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক সাধারণ গুণিতক। মৌলিক উৎপাদকের প্রত্যেকটির সর্বোচ্চ ঘাত নিতে হয়। ছক পদ্ধতিতে মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে থাকো; কোনো সংখ্যা বিভাজ্য না হলে সেটি নিচে অপরিবর্তিত নামাও। শেষের অবশিষ্টগুলো ও ব্যবহৃত ভাজকগুলো গুণ করো।

দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল = তাদের গ.সা.গু. × ল.সা.গু.। এই সূত্র সরাসরি তিনটি সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য নয়। একই ভাগশেষ থাকলে সংখ্যাগুলো থেকে সেই ভাগশেষ বাদ দিয়ে গ.সা.গু. নাও। কোনো সংখ্যা যোগ করলে নিঃশেষে ভাগ হয়—এমন প্রশ্নে ল.সা.গু. থেকে যোগ করা সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হতে পারে।

সমান অংশে ভাগ করা কোনো পূর্ণ বস্তুর কয়েকটি অংশ বোঝাতে ভগ্নাংশ ব্যবহার হয়। নিচে হর মোট সমান অংশের সংখ্যা, উপরে লব নেওয়া অংশের সংখ্যা। হর শূন্য হয় না। লব হরের চেয়ে ছোট হলে প্রকৃত; বড় বা সমান হলে অপ্রকৃত। পূর্ণ অংশের সঙ্গে প্রকৃত ভগ্নাংশ থাকলে মিশ্র ভগ্নাংশ। লব ও হর একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে সমতুল ভগ্নাংশ হয়।

হর সমান হলে যার লব বড়, তার মান বড়। লব সমান ও ধনাত্মক হলে যার হর ছোট, তার মান বড়। হর আলাদা হলে হরগুলোর ল.সা.গু. নিয়ে সমহর করো; অথবা আড়াআড়ি গুণফল তুলনা করো। এখানে হরগুলো ধনাত্মক।

আগে সমহর করো। যোগে লবগুলো যোগ, বিয়োগে লবগুলো বিয়োগ করো; হর একই থাকবে। শেষে লঘিষ্ঠ আকারে লেখো। মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে বদলে কাজ করলে ধার নেওয়ার ভুল কম হয়। দৈর্ঘ্য বা ওজনের ক্ষেত্রে আগে একক মিলিয়ে নাও।

ভগ্নাংশ গুণে লবের সঙ্গে লব এবং হরের সঙ্গে হর গুণ হয়। সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে গুণের আগে কাটাকাটি করা যায়। কোনো সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ “এর” মানে গুণ। যেমন ১২-এর ৩/৪ = ১২ × ৩/৪।

একটি অশূন্য ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ মানে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ। প্রথম ভগ্নাংশ অপরিবর্তিত রাখো; ভাজকের লব-হর উল্টাও। পূর্ণসংখ্যাকে ১ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়। শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।

এই অধ্যায়ে কোনো ভগ্নাংশ দিয়ে অন্যটিকে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হলে প্রথমটি দ্বিতীয়টির গুণনীয়ক। দ্বিতীয়টি প্রথমটির গুণিতক। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশের গুণিতক পাওয়া যায়।

আগে প্রতিটি ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে আনো। তারপর লবগুলোর গ.সা.গু.-কে হরগুলোর ল.সা.গু. দিয়ে ভাগ করো। উত্তরটি দিয়ে প্রতিটি ভগ্নাংশ ভাগ করে পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায় কি না যাচাই করো।

লঘিষ্ঠ আকারে আনা ভগ্নাংশগুলোর লবের ল.সা.গু.-কে হরের গ.সা.গু. দিয়ে ভাগ করো। ফলটি প্রতিটি ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যা হবে।

প্রথমে ভেতরের বন্ধনী, এরপর বাইরের বন্ধনীর কাজ করো। বইয়ের “এর” থাকলে সেটি গুণ হিসেবে আগে হিসাব করো। তারপর ভাগ ও গুণ বাম থেকে ডানে; সবশেষে যোগ ও বিয়োগ বাম থেকে ডানে করো। একই ধাপের কাজে বাম থেকে ডানের ক্রম জরুরি।

দশমিকের ডানে প্রথম ঘর দশমাংশ, তারপর শতাংশ, সহস্রাংশ। ০.২৫ = ২৫/১০০। দশমিক বিন্দুগুলো একই কলামে সাজিয়ে যোগ করো। প্রয়োজন হলে ডানদিকে শূন্য বসাও; দশমিকের শেষে শূন্যে মান বদলায় না।

যোগের মতো দশমিক বিন্দু মিলিয়ে সাজাও। ডানদিকে প্রয়োজনমতো শূন্য বসিয়ে ধার নিয়ে বিয়োগ করো। উত্তরের সঙ্গে বিয়োজক যোগ করলে বিয়োজ্য পাওয়া যায় কি না পরীক্ষা করো।

প্রথমে দশমিক বাদ দিয়ে পূর্ণসংখ্যার মতো গুণ করো। এরপর গুণনীয়ক দুটিতে মোট যত দশমিক ঘর ছিল, উত্তরে ডান দিক থেকে তত ঘর পরে বিন্দু বসাও। প্রয়োজনে বামদিকে শূন্য দাও। একটি সংখ্যাকে ০ ও ১-এর মাঝের সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ফল ছোট হয়।

ভাজক দশমিক হলে ভাজ্য ও ভাজককে একই ১০, ১০০, … দিয়ে গুণ করে ভাজক পূর্ণসংখ্যা করো। ভাগফল বদলাবে না। এরপর সাধারণ ভাগ করো। প্রয়োজনমতো দশমিকের ডানদিকে শূন্য নামানো যায়। ভাজক কখনও শূন্য হবে না।

সব সংখ্যায় সমান দশমিক ঘর বানাও। একই ১০, ১০০, … দিয়ে গুণ করে পূর্ণসংখ্যা করো; তাদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করে একই গুণক দিয়ে ভাগ করে ফেরাও। বাস্তব সমস্যায় আগে কী জানতে চায় ও কোন এককে উত্তর হবে তা লেখো। প্রয়োজনীয় যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করো; উত্তরটি যুক্তিসংগত কি না মিলিয়ে নাও।